下午兩點。
復大，光華樓東主樓，500人階梯教室。
教室裡頭早已經坐滿了人。
最前排是一排空著的座位，那是給數院、物院那幾位老教授留的。
中間幾排，坐著的是復大數院、物院的研究生、博士生。
後面那一大片烏泱泱的腦袋，就五花八門了。
復大本科生、交大數學的研究生、同濟應數的、華東師範的博士生……
甚至連旁邊復旦附中、上中那兩所中學，都派了幾個高中數學競賽的尖子生過來聽。
教室裡面嗡嗡地議論著。
“東神今年才幾歲來著？”
“我看簡歷，十九。”
“我操，真的好年輕啊。”
“正常嘛，你看一下數學史。”
“高斯證二次互反律，十八。”
“伽羅瓦寫下置換群理論，十七。”
“阿貝爾搞那個一般五次方程的不可解，二十。”
“這些天才，就不應該看年紀。”
“對，就看東西。”
就在這一片議論聲裡頭。
教室前門“哢嗒”一聲打開了。
沈維院士先走了進來，身後跟著的就是李東。
五百多雙眼睛，齊刷刷地往講那邊看。
李東一身簡簡單單的深色衛衣加牛仔褲。
他朝沈院士點了點頭，然後一個人走上了講。
他什麼東西也沒帶。
就這麼往講桌前一站。
朝著
然後，他笑了一下。
“大家下午好。”
“我是李東。”
“今天來給大家上一節小課。”
他這一句話語氣很平。
平得像是大學裡某個普通老師在上一堂普通的專業課。
“你們以為我要講朗蘭茲綱領？”
他語氣一拐。
“我偏不。”
教室裡頭一陣笑。
“其實我也不太想講那一檔的東西。”
“因為……以後各位的老師會給大家講了，畢竟上了教材嘛。”
李東也沒管他們繼續說道
“今天我想和大家玩一個小遊戲。”
“遊戲？”
下有人忍不住小聲地嘀咕了一句。
李東轉過身，在背後的黑板上一筆一劃地寫下了一行字。
【對每個正整數n，數一下：有多少對整數(a，b)，使得a?+b=n？】
他寫完，轉過身來。
“很簡單一個問題啊？”
“小學生都會做。”
“那咱們就從小學生那一檔做起。”
他在黑板上開始往下列。
“n=1。”
“a?+b2=1。”
“答案，(&177;1，0)和(0，&177;1)，四組。”
“n=2。”
“a?+b2=2。”
“(&177;1，&177;1)，四組。”
“n=3呢？”
下一片低聲嘀咕。
李東笑了一下。
“零組。”
“為什麼？平方數od4，只能是0或1，加起來只能是0、1、2。”
“所以3不行。”
“n=4，四組。n=5，八組。n=6，零組。n=7，零組。n=10，八組。”
他每報一個數，下記筆記的速度就越來越快。
李東把這一串記完，他轉過身。
“找規律。”
“哪一位起來給我說一說？”
下一陣安靜。
然後，後排坐著一個戴眼鏡的男生舉起了手。
李東一指。
“這位同學，起來。”
那個男生站起來。
後排坐著的幾個復大數院的本科生，一下子就轉過頭來看他了。
“靠，章衡也來了？”
章衡。
復大數院在讀博士，博三。
本科燕大，io2018年銀牌。
現在跟著復大的一位長江學者做解析數論方向。
他整個人在數院裡頭，是屬於“導師下學期發論文掛二作”的那一檔穩的研究生。
此時的章衡站起來，清了清嗓子。
“這一組數，我感覺……”
“應該是和n本身的素因子分解有關。”
“3od4的素數，如果在n裡頭出現奇數次，那就沒有解。”
“如果都是偶數次，就能寫。”
“再具體的次數，我得算一下。”
他答得不算慢。
這是搞解析數論的教材標準答案。
李東笑了一下，也沒說對不對。
“答得很標準。”
“再來一位。”
下又有一隻手舉了起來。
這一回是更後面靠門口的那一片。
一個大概二十一、二歲，圓臉，看著很活潑的男生。
“邱嘉源。”
旁邊人立馬就有人嘀咕。
“水木的那一位？”
“對，i022年金牌，大三。”
“陶哲軒前幾個月還轉發過他一篇隨手寫的小筆記呢。”
邱嘉源站起來。
“我不從素因子分解走。”
“我從幾何走。”
“你這個問題，本質是問平面上以原點為中心、半徑為√n的那一圈圓周上，落了多少個整點。”“如果把所有n的解加起來，那就是平面上到原點距離不超過√n的整點總數。”
“按面積估算，是nn左右。”
“高斯做圓內整點的時候，給出過這個估計。”
李東點了點頭。
“嗯，幾何視角，正確。”
“還有麼？”
下又有一隻手慢吞吞地舉了起來。
這一回是靠牆最邊上一個戴著鴨舌帽的女生。
李東朝她示意。
“這位同學。”
她站起來，聲音不大。
“我從生成函式走。”
“考慮日函式0()=(n?)。”
“rz(n)，就是日()在"n這一項上的係數。”
“所以這個問題，本質上是研究這一個物件。”
“……我只能走到這一步。”
她坐了下去。
李東在上“哎”了一聲。
“這一位同學，已經站在下一站的門口了。”
他衝她點了點頭。
“你這個方向，是對的。”
“只不過它通向的，不是這一道題的答案。”
“它通向的，是雅可比、克萊因、希爾伯特那一些人想了一輩子的另一座山。”
“咱們今天先把這一座山過了，再談下一座。”
這句一出來。
下那一群研究生。
有幾個突然就坐直了。
他們聽出來了。
李東說的“下一座山“。
就是模形式。
三位答完。
教室裡頭反而更安靜了。
按理說，這三個答案已經把這道題“三個最常用的方向“都答全了。
解析數論一個，幾何一個，模形式一個。
還能怎麼答？
李東在上看了看
他嘴角微微地翹了一下。
“三個答案，都對。”
“但是都不徹底。”
“第一位學長的答案告訴你哪些n有解、哪些n沒解。”
“第二位同學的答案告訴你解的總數大概是nn。”
“最後這一位同學的答案告訴你，這東西最後能落到一個生成函式上頭去。”
“可是有一件事，他們三個人都沒答。”
他停頓了一下。
“對一個具體的n，它到底有幾組解？”
“精確的幾組。”
“解數到底是怎麼決定的？”
“既不是素因子分解的有/無。”
“也不是面積估算的大概。”
“當然更不是02這一個物件的籠統描述。”
“是一個精確到每一個n的閉形式的公式。”
下所有人此時都安靜的聽著。
他們這才意識到。
他們剛才答的三條路，都沒碰到這個核心。
有一種“我剛才答得很對，但是好像和你問的不是一回事“的尷尬感。
李東轉過身，在黑板上寫了一行字。
[r=(n)=4&183;(d1(n)-ds(n))]
然後他在
[d:(n)={d|n,d=1(od4)}】
【ds(n)={d|n,d=3(od4)}】
他放下粉筆，轉過身。
“這是雅可比1828年給出的一個精確公式。”
“對每一個n，它有幾組解，看它的因子裡頭模4餘1的有幾個、模4餘3的有幾個，做一個差，再乘以4。“完事。”
下“嘶”地一聲。
有幾個研究生忍不住低聲嘀咕了。
“這……這是怎麼寫出來的？”
“這兩件事怎麼扯上的？”
李東笑了一下。
他抬起手，在黑板上寫了一組新的符號。
【z[={a+bi:a,bez}]
“高斯整數。”
“a加b乘i。”
“a和b都是整數。”
“在這一個新的數系裡頭，你做一件事。”
“你把一個整數n，展開成它在z[裡的素因子分解。”
他在黑板上畫了一個分支。
“在普通的整數里，5是素數。”
“可是在z[裡，5=(2+i)(2-i）。”
“它分裂了。”
“3呢？在z[裡，它還是素數，它不分裂。”
“7呢？也不分裂。”
“為什麼有的素數分裂，有的不分裂？”
他看了一眼章衡。
章衡的眼睛已經發亮了，然後大聲說道。
“模4餘1的分裂。”
“模4餘3的不分裂。”
李東點了點頭。
“所以rz(n）其實問的是什麼？”
“問的是把n在z[裡頭分解成兩個高斯整數的乘積，有多少種分法。”
“這是高斯整數里頭的除數函式。”
“換一個數系，這個問題從"數解變成了數除數。”
“換一個視角，這個問題就從"代數變換的組合問題，變成了數論裡頭熟悉的因子計數問題。”他停頓了一下，指了指邱嘉源
“這位同學，你剛才那一個面積估算說rs(n)的平均階是r。”
“你知道為什麼是n嗎？”
邱嘉源有些猶豫的說道。
“圓的面積公式。”
李東搖了搖頭。
“也不是。”
“圓的面積公式，是一個表象。”
“你把這個解數函式rz(n)做一個dirichlet級數。”
李東在黑板上又寫了一行。
[zrz(n)/ns=4&183;ap;(s)&183;l(s,x)】
“它在解析上分裂成兩個東西的乘積。”
“一個，是黎曼（函式。”
“另一個，是模4那一個非平凡特徵的dirichletl函式。”
“乘積的第一項，在s=1處有極點，留數等於1。”
“乘積的第二項，在s=1處的值，是r/4。”
“兩個一乘，就出了那一個n。”
“這才是為什麼平均階是的原因。”
“那一個n，不是從圓裡頭掉出來的。”
“是從一個l函數里頭掉出來的。”
下的人現在已經懵了。
邱嘉源那一口氣沒緩上來。
他剛才答的“圓的面積”。
是這個l函式在s=1那一頭留下來的一個偶然事件。
李東轉過身。
“我們再退一步。”
“剛才那一個l(s，x）是什麼？”
“它是把模4那個簡簡單單的奇偶性，翻譯成了一個解析物件。”
“這一檔東西，有一個名字。”
“它叫……自守l函式最初的、最最最低維的一個例子。”
“gl(1)上的自守l函式。”
他到此刻，一句“朗蘭茲”都沒提。
但是在場的研究生們，聽到這兒，臉色都已經變了。
他們意識到了。
這個看起來像是“小學生數題數解”的小遊戲。
是一個19世紀的數學家用最樸素的方式，觸碰到了20世紀最龐大的那一座山的山腳。
而這一座山，剛剛由這一位面前的少年，被命名了一塊新的山頭。
李東在黑板上，把那兩個公式之間畫了一根簡單的箭頭。
然後他看著下。
“我說這一節課不講朗蘭茲。”
“我沒騙你們。”
“我沒講。”
他笑了一下。
“但你們剛才聽見的每一個字，其實都在講。”
“問題沒變。”
“a2+b=n，解多少組。”
“答案在變。”
“代數視角告訴你，要換數系。”
“幾何視角告訴你，平均階是2。”
“分析視角告訴你，來自於一個l函式。”
“它們其實是同一件事。”
“同一件事，只是被不同的人，用不同的語言，說了三遍。”
下安靜極了。
李東這個時候，語氣慢了下來。
“我以前有一位高中老師。”
“教我數學的。”
“他和我說過一句話。”
“原話當然我記不太清了，我就大概說說意思。”
“幾何也好，代數也好，分析也好，數論也好，組合也好。”
“它們看起來在不同的房間裡。”
“那只是因為給它們蓋房子的人，把牆砌起來了。”
“牆不是知識。”
“牆是為了教學方便。”
“你需要哪一個房間裡的知識的時候，順手把這面牆拆了就是了。”
“拆完了，房子就連成了一片。”
“今天這一節課，講的就是怎麼拆這些牆。”
教室裡安靜得能聽見後排的人咽口水的聲音。
李東抬起頭。
他的目光從下掃過。
“再過五十年，等你們當中有人坐到我現在這一個位置上，跟下一代講這一道題的時候。”“我希望你們告訴他們的，不是雅可比怎麼寫出那一個公式。”
“也不是高斯怎麼數那一片整點。”
“是一句話。”
他停了一下。
“數學，從來都只有一種數學。”
“它穿過不同的窗戶，灑下了不同的影子。”
“我們做數學的人，一輩子要做的就只有一件事一”
他抬起頭。
“穿過那些影子，去找那一束光。”
教室裡頭，先是有那麼半秒的鴉雀無聲。
然後，有人先鼓起了掌。
緊接著，所有的人都跟著站起來鼓掌了。
五百多雙手。
拍出來的那一陣掌聲，像是要把光華樓的天花板掀起來一樣。
經久不息。
李東就站在講上。
他沒動。
下的人，眼睛都直了。
他們說不清這一種感覺是什麼。
他們只是覺得這一個站在前的少年。
他後頭，好像還有很多很多東西。
他要帶著大家去的那一個地方，他們看不見。
他們也不知道是哪兒。
也許是數學的盡頭。
也許是再過一百年才能看到的那一顆星辰。
但是他們就是覺得。
他們想跟著他
散場以後。
光華樓東主樓的小會客室。
李東剛一進門，沈維就站起來了。
他沒說話。
他直接朝李東伸出了一隻手。
李東愣了一下，趕緊握上去。
“沈院士。”
“今天講得有點不好，您見笑了。”
沈維搖了搖頭。
“我剛才坐在第一排。”
“聽到一半，我自己都忍不住在草稿紙上往下推。”
他笑了一下。
“你這要是算講的不好的話，那就沒人講的好了。”
旁邊的吳建國也接了一句。
“李東啊。”
“我今天來聽這一節課，本來是來捧場的。”
“我一個搞表面物理的，聽數學的小課，能聽懂的不多。”
他頓了一下。
“但是你今天講完，我突然就想起一件事。”
“我那表面物理裡頭，有一個長期對不上號的能級劈裂。”
“我以前一直是從晶體對稱那一頭去解的。”
“我剛才坐在底下聽你那一句換數系"，我突然想到。”
“那東西，可能根本就不是從對稱那一頭去解的。”
“是從一個我沒用過的"數系"裡頭去看的。”
他抬起頭看著李東。
“所以我要謝謝你，是你這一節課點醒了我。”
李東趕緊擺手。
“吳老師您過獎了。”
“我也就是講一節小課。”
吳建國笑了一下。
“你這一節課，對你來說，是小課。”
“對我們坐在底下聽的，可能就不是了。”
沈維點了點頭。
“今天這事，我估計過幾天就要傳到水木那一頭去了。”
他有些古怪的看著李東。
“那邊的丘先生，怕是又要給你打電話了。”
“我可是聽說了，他好像讓你去水木講課，你還沒去，現在先跑我們復大來了。”
李東：……
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